Funzioni di variabile complessa

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Testo

Funzioni di variabile complessa

Richiami sui numeri complessi

Il piano complesso
Dato l’insieme delle coppie ordinate z=(x, y) di numeri reali, introduciamo in esso due operazioni binarie commutative, che chiameremo addizione e moltiplicazione e indicheremo rispettivamente con + e · tramite le seguenti proprietа:

1. (x1, y1) = (x2, y2) ) x1 = x2 e y1 = y2
2. (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
3. (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 - y1y2, y1x2 + y2x1)

La coppia (0, 0) ha la seguente proprietа:
(0, 0) + (x, y) = (x, y) ( (x, y) R2

La coppia (1, 0) ha la seguente proprietа:
(1, 0) · (x, y) = (x, y) ( (x, y) R2

Denotiamo ora (0, 1) con j; abbiamo allora:
j2 = j · j = (0, 1) · (0, 1) = (-1, 0) = -1
Perciт j и la radice quadrata di -1.
Si ottiene anche che:
(x, y) = x + jy
x e y si dicono rispettivamente parte reale e parte immaginaria di z e si indicano con Re(z) e Im(z). Chiameremo numero complesso ogni numero nella forma x + jy, e l’insieme dei numeri complessi si indica con C. I numeri nella forma 0 + jy si dicono immaginari puri.
Si possono facilmente effettuare le operazioni di quoziente ed inverso tramite le formule:

Da notare che l’ultima formula и valida per tutti i numeri complessi eccetto lo zero.
In particolare si ricordi che
Si vede subito che S x 0 C, zz-1 = z-1z = 1.

C possiede la struttura di un campo.

Si puт definire il coniugato o complesso coniugato di un numero complesso z=x+jy il numero z* dato da z*= x - jy. Ho le seguenti prorpietа della coniugazione complessa: и distributiva sull’addizione, sulla moltiplicazione, sul rapporto, (z*)* = z, z + z* = 2Re(z) e z - z* = 2jIm(z).

Il valore assoluto o modulo di un numero complesso и . Il modulo di un complesso e del suo coniugato sono uguali; la parte reale e quella immaginaria sono sempre minori o uguali del modulo; il modulo и distributivo sulla moltiplicazione e vale la disuguaglianza triangolare sulla moltiplicazione.

Seguendo l’interpretazione di Gauss, i numeri complessi possono essere interpretati come punti su un piano a due dimensioni, detto piano complesso.
In questo modo, ad esempio, somma e differenza fra numeri complessi si traducono come somma e differenza di vettori orientati. Il modulo diviene allora la lunghezza del vettore, ovvero la distanza del punto dall’origine.
Ora si possono definire delle parti del piano in modo semplice:
* circonferenza di raggio r : ;
* cerchio aperto di raggio r : ;
* anello o corona aperta : .

E’ possibile ora definiredue parametri, e cioи in cui si dice argomento di z e si indica con arg(z). Per ogni numero complesso valgono le relazioni x = l cos e y = sin da cui si ricava la forma trigonometrica di un numero complesso, cioи z = rr(cos ( + j sin ). Si not che per l’origine il modulo и nullo e l’argomento и indeterminato.
L’argomento associato a z и determinato a meno di multipli di 2L. Il valore di . nell’intervallo ]- ; ;[ и detto valore principale di arg(z) e si indica con Arg(z).

Si chiama forma esponenziale, polare o euleriana di un numero complesso la scrittura z = ejj. Nella moltiplicazione и utile questa forma perchи:

Rapidamente si ricavano le formule per l’elevamento a potenza e l’estrazione di radici:

La formula della radice и detta di De Moivre.
E’ da notare che tutte le radici di z hanno lo stesso modulo, quindi si trovano su una circonferenza di centro l’orgine e sono separate di un angolo costante 2’/n, ovvero sono vertici di un poligono regolare di n lati.
Insiemi di numeri complessi
Gli elementi di insiemi di C sono detti punti. Un insieme di numeri complessi и detto limitato se k>0 > R tale che z z . Un .-intorno o semplicemente un intorno di un punto z0 nel piano complesso si denota I(z0, ,) = {z : tale che tz z I’(z0, ,,) ) I, si abbia f(z) - w00< R}.
Nel calcolo del limite non deve comparire l’argomento, in modo che il metodo di avvicinamento al punto non sia influente. Nel caso si ottengano, dopo il calcolo dellмoperatore, valori che dipendono dall’argomento, si dice che il limite non esiste.

Sia f una funzione definita su un intorno I di un punto z0 e C, tranne al piщ z0. Allora, scritta f = u + jv e allora w0 = u0 + jv0.

Se allora:
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Per ogni polinomio vale e per ogni funzione razionale .

Sia f una funzione complessa definita su di un intorno I di un punto z0 del piano di Gauss, tranne al piщ in z0. Si dice che il limite della funzione f, quando z si avvicina a z0 e si scrive se U intorno di w0 V V I di z0 tale che z z V, f(z) U.

Una funzione f : W C si dice limitata su se M > 0 tale che >z z , ,f(z)f

Esempio